Schnelles Kopfrechnen – mit diesen Tricks kann es jeder

Du nimmst für jede Rechnung den Taschenrechner? Das muss nicht sein. Mit unseren Tipps fürs Kopfrechnen kannst du selbst mehrstellige Zahlen multiplizieren sowie Brüche addieren und subtrahieren.

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Multiplizieren mit Zahlen von 100 bis 119

Kopfrechnen: Was ist das und wozu brauchst du das?

Als Kopfrechnen bezeichnet man das Lösen einer Rechenaufgabe ohne Hilfsmittel wie Stift, Papier oder den Taschenrechner. Kommst du bei einer Aufgabe mit nur wenigen Notizen aus, nennt man dies halbschriftliches Rechnen.

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Das Kopfrechnen ist zentraler Bestandteil des Mathe-Unterrichts in der Grundschule. Die Schülerinnen und Schüler lernen dort das Einspluseins sowie das Einmaleins. Vielleicht fragst du dich, wozu das gut sein soll (schließlich gibt es Taschenrechner). Doch das Kopfrechnen zu lernen, hilft dir in der gesamten Schulzeit und im späteren Leben.

Die Vorteile von Kopfrechnen

ein Mädchen rechnet an einer Tafel

© Yuganov Konstantin / Shutterstock.com

Wer gut im Kopfrechnen ist, hat es nicht nur im Supermarkt, bei Backrezepten und der Steuererklärung leichter. Beherrscht du das Rechnen ohne Hilfsmittel, dann verstehst du auch schwierigere Matheaufgaben leichter und kannst im Unterricht besser folgen.

Denn Kopfrechnen

  • trainiert das Gehirn,
  • hilft dabei, die Plausibilität von Ergebnissen einschätzen zu können,
  • erleichtert das Lösen von komplexeren Matheaufgaben
  • und hilft dabei, ein Gefühl für Zahlen zu entwickeln.

Vedische Mathematik

Viele der hier aufgeführten Rechenregeln gehören zur „vedischen Mathematik”. Ob sich der Begriff auf „Veda“ bezieht, also auf Texte des Hinduismus, ist nicht klar. Fakt ist jedoch, dass mit den Regeln der vedischen Mathematik sehr schnell und einfach gerechnet werden kann.

Schriftliches Rechnen oder schnelles Kopfrechnen?

Die Rechenwege, die du in der Schule lernst, sind für das schriftliche Rechnen sehr effektiv, nur leider für das schnelle Kopfrechnen manchmal zu kompliziert. Die „vedische Rechenmethode” solltest du jedoch nur im Kopf benutzen. Verwende bei den schriftlichen Matheaufgaben weiterhin die Rechenmethoden, die du in der Schule gelernt hast. Gerade in Mathearbeiten wird neben dem Ergebnis auch der schriftliche Rechenweg benotet.

Kopfrechnen: Tricks für die Multiplikation mehrstelliger Zahlen

Drei Kinder rechnen an einer Tafel

© GagliardiPhotography / Shutterstock.com

Regel 1: Wenn die ersten Ziffern gleich sind und die letzten zwei Ziffern 10 ergeben

Bei einer solchen Rechnung kommt die vedische Regel „Einer mehr als der davor” ins Spiel.

Und hier eine Schritt-für-Schritt-Anleitung:

Reihenfolge Vorgehensweise Beispiel:
47 x 43 = ?
1. Schritt Addiere die 1. Ziffer der ersten mehrstelligen Zahl mit 1 und multipliziere das Ergebnis mit der 1. Ziffer der zweiten mehrstelligen Zahl. 47 x 43
(4+1) x 4 = 20 (1. Teilergebnis)
2. Schritt Multipliziere die beiden hinteren Ziffern miteinander 47 x 43
3 x 7 = 21 (2. Teilergebnis)
3. Schritt Setze die Teilergebnisse zusammen 20 und 21 zusammengesetzt ergibt 2021
Lösung 47 x 43 = 2021

Regel 2: Wenn die Zahlen nah an einer Zehnerbasis liegen

Wenn du mehrstellige Zahlen multiplizieren möchtest, die nah an einer Zehnerpotenz (also 10, 100, 1000 usw.) liegen, kommt die vedische Regel „vertikal und kreuzweise” ins Spiel. Hierbei musst du darauf achten, ob die Zahlen, die du multiplizieren möchtest, unter (2a) oder über (2b) einer Zehnerpotenz liegen.

2a) Wenn beide Zahlen unter einer Zehnerpotenz liegen

Reihenfolge Vorgehensweise Beispiel 95 x 82 = ?
1. Schritt Errechne die Differenz zwischen der Zehnerbasis und den beiden Zahlen (z. B. 10 minus 6 oder 100 minus 77). 100 – 95 = 5 und 100 – 82 = 18
2. Schritt Subtrahiere die Differenzen kreuzweise von den Zahlen (1. Teilergebnis). 95 – 18 = 77 und 82 – 5 = 77
3. Schritt Multipliziere die Differenzen miteinander (2. Teilergebnis). 5 x 18 = 90
4. Schritt Setze die Teilergebnisse zusammen 77 und 90 werden zu 7.790
Lösung 95 x 82 = 7.790

Achtung: Wenn das 2. Teilergebnis bei einer Rechnung mit 100 mehr als zwei Stellen und bei einer Rechnung mit 100 mehr als drei aufweist, musst du den Übertrag zum 1. Teilergebnis hinzuaddieren!

2. Beispiel (nah 1000): 998 x 899 = ?

  1. 1000 – 998 = 2 und 1000 – 899 = 101
  2. 998 – 101 = 897 und 899 – 2 = 897 (1. Teilergebnis)
  3. 2 x 101 = 202 (2. Teilergebnis)
  4. Lösung: 998 x 899 = 897.202

3. Beispiel (mit Übertrag): 95 x 74 = ?

  1. 100 – 95 = 5 und 100 – 74 = 26
  2. 95 – 26 = 69 und 74 – 5 = 69 (1. Teilergebnis)
  3. 5 x 26 = 130
  4. Lösung mit Übertrag: 7030 (Übertrag: 69 +1 = 70)

2b) Wenn beide Zahlen über einer Zehnerpotenz liegen

Reihenfolge Vorgehensweise Beispiel 106 x 110 = ?
1. Schritt Errechne die Differenz zwischen der Zehnerbasis und den beiden Zahlen. 106 – 100 = 6 und 110 – 100 = 10
2. Schritt Addiere die Differenzen kreuzweise von den Zahlen (1. Teilergebnis). 106 + 10 = 116 und 110 + 6 = 116 (1. Teilergebnis)
3. Schritt Multipliziere die Differenzen miteinander (2. Teilergebnis). 6 x 10 = 60 (2. Teilergebnis)
4. Schritt Setze die Teilergebnisse zusammen 116 und 60 werden zu 11.660
Lösung 106 x 110 = 11.660

3. Wenn es sich um beliebige zweistellige Zahlen handelt

Auch hier greift die vedische Regel „vertikal und kreuzweise”.

Reihenfolge Vorgehensweise Beispiel 64 x 32 = ?
1. Schritt Multipliziere die 1. Ziffern der beiden Zahlen (1. Teilergebnis). 6 x 3 = 18 (1. Teilergebnis)
2. Schritt Multipliziere die 1. Ziffer der 1. Zahl mit der 2. Ziffer der 2. Zahl und die 2. Ziffer der 1. Zahl mit der 1. Ziffer der 2. Zahl. 6 x 2 = 12 und 4 x 3 = 12
3. Schritt Addiere beide Ergebnisse (2. Teilergebnis). 12 + 12 = 24 (2. Teilergebnis)
4. Schritt Multipliziere die 2. Ziffer beider Zahlen miteinander (3. Teilergebnis). 4 x 2 = 8 ( 3. Teilergebnis)
Lösung 64 x 32 = 2048

Kopfrechnen: Tricks für die Bruchrechnung

Apfelstücke als Veranschaulichung von Bruchrechnen

© Chekyravaa / Shutterstock.com

Wenn du Brüche schnell addieren oder subtrahieren möchtest, kannst du ebenfalls mit der Regel „vertikal und kreuzweise” arbeiten.

Brüche addieren

Reihenfolge Vorgehensweise Beispiel ¾ + ⅕ = ?
1. Schritt Multipliziere den Zähler (obere Zahl) des 1. Bruchs mit dem Nenner (untere Zahl) des 2. Bruchs sowie den Zähler des 2. Bruchs mit dem Nenner des 1. Bruchs. 3 x 5 = 15 und 4 x 1 = 4
2. Schritt Addiere beide Ergebnisse miteinander (1. Teilergebnis = Zähler). 15 + 4 = 19
3. Schritt Multipliziere die beiden Nenner miteinander (2. Teilergebnis = Nenner). 4 x 5 = 20
Lösung ¾ + ⅕ = 19/20

Brüche subtrahieren

Reihenfolge Vorgehensweise Beispiel ¾ – ⅕ = ?
1. Schritt Multipliziere den Zähler des 1. Bruchs mit dem Nenner des 2. und den Zähler des 2. Bruchs mit dem Nenner des 1. 3 x 5 = 15 und 4 x 1 = 4
2. Schritt Subtrahiere beide Ergebnisse miteinander (1. Teilergebnis = Zähler). 15 – 4 = 11
3. Schritt Multipliziere die beiden Nenner miteinander (2. Teilergebnis = Nenner). 4 x 5 = 20
Lösung ¾ – ⅕ = 11/20

Im Kopf addieren

Zahlen und Rechenzeichen stehen auf einer Tafel

© Bankrx / Shutterstock.com

Neben der vedischen Mathematik gibt es auch noch andere Kopfrechen-Tricks, mit denen du schnell und einfach und ohne die Hilfe eines Taschenrechners addieren, subtrahieren oder multiplizieren kannst. Beim Addieren im Kopf hilft es, wenn du die Rechnung aufteilst.

Beispiel: 117 + 242 = ?

  1. Addiere 7 + 2 = 9
  2. 11 + 24 = 35
  3. Die Lösung: 117 + 242 = 359

Mit 11 multiplizieren

Mit 10 zu multiplizieren, macht Spaß, da es denkbar einfach ist. Setze an den Multiplikanden (also die Zahl, die multipliziert werden soll) einfach eine Null hinten dran. Aber auch mit 11 zu multiplizieren, funktioniert bei allen zweistelligen Zahlen ohne Taschenrechner sehr gut. Der Trick für diese Aufgabe: Addiere die beiden Ziffern des Multiplikanden und setze sie in die Mitte der Ausgangszahl.

Ein Beispiel: 43 x 11 = ?

  1. 4 + 3 = 7
  2. Setze die 7 in die Mitte von 43
  3. Die Lösung: 43 x 11 = 473

Die Trachtenberg-Methode

Junge mit Brille steht vor einer Tafel

© Ollyy / Shutterstock.com

Die Trachtenberg-Methode wurde in den 1940er Jahren von dem russischen Ingenieur Jakow Trachtenberg erfunden und ermöglicht schnelles Kopfrechnen oder zumindest halbschriftliches Rechnen, selbst mit großen Zahlen. Allerdings musst du dir für jeden Multiplikator eine eigene Regel merken. Wir stellen dir hier exemplarisch die Rechenregeln für 5, 6 und 11 vor.

Multiplizieren mit 5 nach der Trachtenberg-Methode

Nimm von jeder Ziffer der Ausgangszahl jeweils den rechten Nachbarn und halbiere ihn. Denke dir dabei eine Null rechts und links von der Ausgangszahl, also z. B. 872 denkst du dir als 08720. Ist die Ausgangszahl ungerade addiere stets die Zahl fünf dazu.

Ein Beispiel: 872 x 5 = ?

  1. Nachbar der 2 ist 0; 0 : 2 = 0
  2. Nachbar der 7 ist 2; 2:2 = 1 jedoch + 5 (weil die 7 ungerade ist) = 6
  3. Der Nachbar der 8 ist 7; 7:2=3,5 ≈ 3 (halbe Zahlen werden abgerundet)
  4. Nachbar der 0 ist 8; 8:2= 4
  5. Die Lösung: 872 x 5 = 4360

Multiplizieren mit 6 nach der Trachtenberg-Methode

Hier lautet die Regel: Nimm die Ausgangsziffer und addiere die Hälfte des rechten Nachbarn. Auch hier gilt, ist die Ausgangszahl ungerade, musst du noch die Zahl fünf addieren.

Beispiel: 741 x 6 = ?

  1. 1 + ½ Nachbar (0:2=0) = 1 + 0 + 5 (weil 1 ungerade ist) = 6
  2. 4 + ½ Nachbar (1:2=0,5≈0) = 4 + 0 = 4
  3. 7 + ½ Nachbar (4:2=2) = 7+2=9; 9 + 5 (7 ist ungerade) = 14 (Achtung Übertrag, weil 14 eine zweistellige Zahl ist! Das heißt, die eins wird zur nächst höheren Ziffer dazu addiert)
  4. 0 + ½ Nachbar (7:2=3,5≈3) = 0 + 3 = 3
  5. Die Lösung: 4.446

Multiplizieren dreistelliger Zahlen mit 11

Möchtest du eine dreistellige Zahl mit 11 multiplizieren, dann kannst du ebenfalls eine Regel aus der Trachtenberg-Methode nutzen. Sie lautet: Addiere jede Ziffer des Multiplikanden mit ihrem rechten Nachbarn.

Ein Beispiel: 542 x 11 = ?

  1. 2 + 0 = 2
  2. 4 + 2 = 6
  3. 5 + 4 = 9
  4. 0 + 5 = 5
  5. Die Lösung: 542 x 11 = 5962

Kopfrechnen: Übung macht den Meister

Das mag für dich jetzt erst einmal alles kompliziert klingen. Aber mit ein bisschen Übung kannst du bald das Multiplizieren mehrstelliger Zahlen und Bruchrechnungen im Schlaf. Versuche es doch gleich einmal mit unserem Quiz.

 

Titelbild: © Evgeny Atamanenko /Shutterstock.com

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