Schnelles Kopfrechnen – mit diesen Tricks kann es jeder
Du nimmst für jede Rechnung den Taschenrechner? Das muss nicht sein. Mit unseren Tipps fürs Kopfrechnen kannst du selbst mehrstellige Zahlen multiplizieren sowie Brüche addieren und subtrahieren.
- Kopfrechnen: Was ist das und wozu brauchst du das?
- Die Vorteile von Kopfrechnen
- Vedische Mathematik
- Kopfrechnen: Tricks für die Multiplikation mehrstelliger Zahlen
- Kopfrechnen: Tricks für die Bruchrechnung
- Im Kopf addieren
- Die Trachtenberg-Methode
- Kopfrechnen-Quiz: Übung macht den Meister
Kopfrechnen: Was ist das und wozu brauchst du das?
Als Kopfrechnen bezeichnet man das Lösen einer Rechenaufgabe ohne Hilfsmittel wie Stift, Papier oder den Taschenrechner. Kommst du bei einer Aufgabe mit nur wenigen Notizen aus, nennt man dies halbschriftliches Rechnen.
Das Kopfrechnen ist zentraler Bestandteil des Mathe-Unterrichts in der Grundschule. Die Schülerinnen und Schüler lernen dort das Einspluseins sowie das Einmaleins. Vielleicht fragst du dich, wozu das gut sein soll (schließlich gibt es Taschenrechner). Doch das Kopfrechnen zu lernen, hilft dir in der gesamten Schulzeit und im späteren Leben.
Die Vorteile von Kopfrechnen
Wer gut im Kopfrechnen ist, hat es nicht nur im Supermarkt, bei Backrezepten und der Steuererklärung leichter. Beherrscht du das Rechnen ohne Hilfsmittel, dann verstehst du auch schwierigere Matheaufgaben leichter und kannst im Unterricht besser folgen.
Denn Kopfrechnen
- trainiert das Gehirn,
- hilft dabei, die Plausibilität von Ergebnissen einschätzen zu können,
- erleichtert das Lösen von komplexeren Matheaufgaben
- und hilft dabei, ein Gefühl für Zahlen zu entwickeln.
Vedische Mathematik
Viele der hier aufgeführten Rechenregeln gehören zur „vedischen Mathematik”. Ob sich der Begriff auf „Veda“ bezieht, also auf Texte des Hinduismus, ist nicht klar. Fakt ist jedoch, dass mit den Regeln der vedischen Mathematik sehr schnell und einfach gerechnet werden kann.
Schriftliches Rechnen oder schnelles Kopfrechnen?
Die Rechenwege, die du in der Schule lernst, sind für das schriftliche Rechnen sehr effektiv, nur leider für das schnelle Kopfrechnen manchmal zu kompliziert. Die „vedische Rechenmethode” solltest du jedoch nur im Kopf benutzen. Verwende bei den schriftlichen Matheaufgaben weiterhin die Rechenmethoden, die du in der Schule gelernt hast. Gerade in Mathearbeiten wird neben dem Ergebnis auch der schriftliche Rechenweg benotet.
Kopfrechnen: Tricks für die Multiplikation mehrstelliger Zahlen
Regel 1: Wenn die ersten Ziffern gleich sind und die letzten zwei Ziffern 10 ergeben
Bei einer solchen Rechnung kommt die vedische Regel „Einer mehr als der davor” ins Spiel.
Und hier eine Schritt-für-Schritt-Anleitung:
Reihenfolge | Vorgehensweise | Beispiel: 47 x 43 = ? |
---|---|---|
1. Schritt | Addiere die 1. Ziffer der ersten mehrstelligen Zahl mit 1 und multipliziere das Ergebnis mit der 1. Ziffer der zweiten mehrstelligen Zahl. | 47 x 43 (4+1) x 4 = 20 (1. Teilergebnis) |
2. Schritt | Multipliziere die beiden hinteren Ziffern miteinander | 47 x 43 3 x 7 = 21 (2. Teilergebnis) |
3. Schritt | Setze die Teilergebnisse zusammen | 20 und 21 zusammengesetzt ergibt 2021 |
Lösung | 47 x 43 = 2021 |
Regel 2: Wenn die Zahlen nah an einer Zehnerbasis liegen
Wenn du mehrstellige Zahlen multiplizieren möchtest, die nah an einer Zehnerpotenz (also 10, 100, 1000 usw.) liegen, kommt die vedische Regel „vertikal und kreuzweise” ins Spiel. Hierbei musst du darauf achten, ob die Zahlen, die du multiplizieren möchtest, unter (2a) oder über (2b) einer Zehnerpotenz liegen.
2a) Wenn beide Zahlen unter einer Zehnerpotenz liegen
Reihenfolge | Vorgehensweise | Beispiel 95 x 82 = ? |
---|---|---|
1. Schritt | Errechne die Differenz zwischen der Zehnerbasis und den beiden Zahlen (z. B. 10 minus 6 oder 100 minus 77). | 100 – 95 = 5 und 100 – 82 = 18 |
2. Schritt | Subtrahiere die Differenzen kreuzweise von den Zahlen (1. Teilergebnis). | 95 – 18 = 77 und 82 – 5 = 77 |
3. Schritt | Multipliziere die Differenzen miteinander (2. Teilergebnis). | 5 x 18 = 90 |
4. Schritt | Setze die Teilergebnisse zusammen | 77 und 90 werden zu 7.790 |
Lösung | 95 x 82 = 7.790 |
Achtung: Wenn das 2. Teilergebnis bei einer Rechnung mit 100 mehr als zwei Stellen und bei einer Rechnung mit 100 mehr als drei aufweist, musst du den Übertrag zum 1. Teilergebnis hinzuaddieren!
2. Beispiel (nah 1000): 998 x 899 = ?
- 1000 – 998 = 2 und 1000 – 899 = 101
- 998 – 101 = 897 und 899 – 2 = 897 (1. Teilergebnis)
- 2 x 101 = 202 (2. Teilergebnis)
- Lösung: 998 x 899 = 897.202
3. Beispiel (mit Übertrag): 95 x 74 = ?
- 100 – 95 = 5 und 100 – 74 = 26
- 95 – 26 = 69 und 74 – 5 = 69 (1. Teilergebnis)
- 5 x 26 = 130
- Lösung mit Übertrag: 7030 (Übertrag: 69 +1 = 70)
2b) Wenn beide Zahlen über einer Zehnerpotenz liegen
Reihenfolge | Vorgehensweise | Beispiel 106 x 110 = ? |
---|---|---|
1. Schritt | Errechne die Differenz zwischen der Zehnerbasis und den beiden Zahlen. | 106 – 100 = 6 und 110 – 100 = 10 |
2. Schritt | Addiere die Differenzen kreuzweise von den Zahlen (1. Teilergebnis). | 106 + 10 = 116 und 110 + 6 = 116 (1. Teilergebnis) |
3. Schritt | Multipliziere die Differenzen miteinander (2. Teilergebnis). | 6 x 10 = 60 (2. Teilergebnis) |
4. Schritt | Setze die Teilergebnisse zusammen | 116 und 60 werden zu 11.660 |
Lösung | 106 x 110 = 11.660 |
3. Wenn es sich um beliebige zweistellige Zahlen handelt
Auch hier greift die vedische Regel „vertikal und kreuzweise”.
Reihenfolge | Vorgehensweise | Beispiel 64 x 32 = ? |
---|---|---|
1. Schritt | Multipliziere die 1. Ziffern der beiden Zahlen (1. Teilergebnis). | 6 x 3 = 18 (1. Teilergebnis) |
2. Schritt | Multipliziere die 1. Ziffer der 1. Zahl mit der 2. Ziffer der 2. Zahl und die 2. Ziffer der 1. Zahl mit der 1. Ziffer der 2. Zahl. | 6 x 2 = 12 und 4 x 3 = 12 |
3. Schritt | Addiere beide Ergebnisse (2. Teilergebnis). | 12 + 12 = 24 (2. Teilergebnis) |
4. Schritt | Multipliziere die 2. Ziffer beider Zahlen miteinander (3. Teilergebnis). | 4 x 2 = 8 ( 3. Teilergebnis) |
Lösung | 64 x 32 = 2048 |
Kopfrechnen: Tricks für die Bruchrechnung
Wenn du Brüche schnell addieren oder subtrahieren möchtest, kannst du ebenfalls mit der Regel „vertikal und kreuzweise” arbeiten.
Brüche addieren
Reihenfolge | Vorgehensweise | Beispiel ¾ + ⅕ = ? |
---|---|---|
1. Schritt | Multipliziere den Zähler (obere Zahl) des 1. Bruchs mit dem Nenner (untere Zahl) des 2. Bruchs sowie den Zähler des 2. Bruchs mit dem Nenner des 1. Bruchs. | 3 x 5 = 15 und 4 x 1 = 4 |
2. Schritt | Addiere beide Ergebnisse miteinander (1. Teilergebnis = Zähler). | 15 + 4 = 19 |
3. Schritt | Multipliziere die beiden Nenner miteinander (2. Teilergebnis = Nenner). | 4 x 5 = 20 |
Lösung | ¾ + ⅕ = 19/20 |
Brüche subtrahieren
Reihenfolge | Vorgehensweise | Beispiel ¾ – ⅕ = ? |
---|---|---|
1. Schritt | Multipliziere den Zähler des 1. Bruchs mit dem Nenner des 2. und den Zähler des 2. Bruchs mit dem Nenner des 1. | 3 x 5 = 15 und 4 x 1 = 4 |
2. Schritt | Subtrahiere beide Ergebnisse miteinander (1. Teilergebnis = Zähler). | 15 – 4 = 11 |
3. Schritt | Multipliziere die beiden Nenner miteinander (2. Teilergebnis = Nenner). | 4 x 5 = 20 |
Lösung | ¾ – ⅕ = 11/20 |
Im Kopf addieren
Neben der vedischen Mathematik gibt es auch noch andere Kopfrechen-Tricks, mit denen du schnell und einfach und ohne die Hilfe eines Taschenrechners addieren, subtrahieren oder multiplizieren kannst. Beim Addieren im Kopf hilft es, wenn du die Rechnung aufteilst.
Beispiel: 117 + 242 = ?
- Addiere 7 + 2 = 9
- 11 + 24 = 35
- Die Lösung: 117 + 242 = 359
Mit 11 multiplizieren
Mit 10 zu multiplizieren, macht Spaß, da es denkbar einfach ist. Setze an den Multiplikanden (also die Zahl, die multipliziert werden soll) einfach eine Null hinten dran. Aber auch mit 11 zu multiplizieren, funktioniert bei allen zweistelligen Zahlen ohne Taschenrechner sehr gut. Der Trick für diese Aufgabe: Addiere die beiden Ziffern des Multiplikanden und setze sie in die Mitte der Ausgangszahl.
Ein Beispiel: 43 x 11 = ?
- 4 + 3 = 7
- Setze die 7 in die Mitte von 43
- Die Lösung: 43 x 11 = 473
Die Trachtenberg-Methode
Die Trachtenberg-Methode wurde in den 1940er Jahren von dem russischen Ingenieur Jakow Trachtenberg erfunden und ermöglicht schnelles Kopfrechnen oder zumindest halbschriftliches Rechnen, selbst mit großen Zahlen. Allerdings musst du dir für jeden Multiplikator eine eigene Regel merken. Wir stellen dir hier exemplarisch die Rechenregeln für 5, 6 und 11 vor.
Multiplizieren mit 5 nach der Trachtenberg-Methode
Nimm von jeder Ziffer der Ausgangszahl jeweils den rechten Nachbarn und halbiere ihn. Denke dir dabei eine Null rechts und links von der Ausgangszahl, also z. B. 872 denkst du dir als 08720. Ist die Ausgangszahl ungerade addiere stets die Zahl fünf dazu.
Ein Beispiel: 872 x 5 = ?
- Nachbar der 2 ist 0; 0 : 2 = 0
- Nachbar der 7 ist 2; 2:2 = 1 jedoch + 5 (weil die 7 ungerade ist) = 6
- Der Nachbar der 8 ist 7; 7:2=3,5 ≈ 3 (halbe Zahlen werden abgerundet)
- Nachbar der 0 ist 8; 8:2= 4
- Die Lösung: 872 x 5 = 4360
Multiplizieren mit 6 nach der Trachtenberg-Methode
Hier lautet die Regel: Nimm die Ausgangsziffer und addiere die Hälfte des rechten Nachbarn. Auch hier gilt, ist die Ausgangszahl ungerade, musst du noch die Zahl fünf addieren.
Beispiel: 741 x 6 = ?
- 1 + ½ Nachbar (0:2=0) = 1 + 0 + 5 (weil 1 ungerade ist) = 6
- 4 + ½ Nachbar (1:2=0,5≈0) = 4 + 0 = 4
- 7 + ½ Nachbar (4:2=2) = 7+2=9; 9 + 5 (7 ist ungerade) = 14 (Achtung Übertrag, weil 14 eine zweistellige Zahl ist! Das heißt, die eins wird zur nächst höheren Ziffer dazu addiert)
- 0 + ½ Nachbar (7:2=3,5≈3) = 0 + 3 = 3
- Die Lösung: 4.446
Multiplizieren dreistelliger Zahlen mit 11
Möchtest du eine dreistellige Zahl mit 11 multiplizieren, dann kannst du ebenfalls eine Regel aus der Trachtenberg-Methode nutzen. Sie lautet: Addiere jede Ziffer des Multiplikanden mit ihrem rechten Nachbarn.
Ein Beispiel: 542 x 11 = ?
- 2 + 0 = 2
- 4 + 2 = 6
- 5 + 4 = 9
- 0 + 5 = 5
- Die Lösung: 542 x 11 = 5962
Kopfrechnen: Übung macht den Meister
Das mag für dich jetzt erst einmal alles kompliziert klingen. Aber mit ein bisschen Übung kannst du bald das Multiplizieren mehrstelliger Zahlen und Bruchrechnungen im Schlaf. Versuche es doch gleich einmal mit unserem Quiz.
Quiz Maker – ein Service von Riddle
Titelbild: © Evgeny Atamanenko /Shutterstock.com
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Kommentieren
Diese „vedische“ Rechnung ist viel zu schwer und zu kompliziert für Schüler! Ich würde sie keinem anraten zu erlernen! Es ist nur eine etwas andere Form der schriftlichen Rechnung und für verschiedene Zahlen sogar kein einheitliches Prinzip! Alleine bei
64 * 32 sind 6(!) Zwischenrechnungen nötig! Spätestens nach der 3. Teilrechnung hat man die Aufgabe vergessen!
Für eine mündliche Kopfrechnung ist es wichtig, dass nur eine Zahl zerlegt wird und es wird logisch und verständlich eine Klammerrechnung daraus:
64 * (30+2) = 1920 + 128
besser sogar
8 * 8 * 32 = 2 *(8 *32)
günstig auch 32 * (10-2) = 320 – 64 = 320 – 100 + 36
36 ist Ergänzungszahl zur 64. Wichtig also auch, Ergänzungszahlen zu beherrschen!
Dies ist eine logisch nachvollziehbare Methode!
Günstig auch bei Zerlegbarkeit in Büche:
36 * 48 = 36 *(100/2 -2) = 18 * 100 – 72 oder
36 * 76 = 36 (3/4 *100 – 1) = 36/4 *3 *100 – 36
Vorteil bei Brüchen: Man rechnet mit kleinen Zahlen und die Teilrechnung mit der runden Zahl ist ja keine Rechnung, man fügt nur Nulllen an!
Die Lösung zu Bruchrechnung 2. ist fehlerhaft, da hier ein Vorzeichenfehler gemacht wurde.
Denn 3/4 + 1/5 sind im Ergebnis definitiv nicht 11/20!
Lieber Steffen Meier,
oh, das stimmt natürlich. Da ist uns wohl ein kleiner Tippfehler unterlaufen, der jedoch bei einer Matherechnung nicht passieren darf.
Wir haben den Fehler nun verbessert!
Vielen Dank für den Hinweis 🙂
Liebe Grüße
Katharina
Vedische Mathematik ist wirklich ein tolles Thema welches an deutschen Schulen leider nicht im Unterricht behandelt wird.
Wer „Extremkopfrechnen“ in der Suche eingibt findet auch ein paar Videos hier die sich mit diesen Rechnentricks befassen =)
Exelente aporte para trabajar c mis alumnos y colegas docentes…gracias
Funktioniert bei mir leider nicht 🙁
Laut Taschenrechner gibt zB 64×57=3648
Mit der Methode ergibt es aber 3528….´Mache ich etwas falsch?
@Leila
Ja. Du hast die Überschrift nicht gelesen.
„Wenn die ersten Ziffern gleich sind und die letzten zwei Ziffern 10 ergeben.“
64×57=3648
Hier sind weder 6 und 5 identisch, noch sind 4 plus 7 gleich 10.
Das Vedische System ist Bestimmt nicht schlecht, hilft aber nicht beim Kopfrechnen! Zu viele zwischenresultate die keiner Behalten kann! Haber selber ein System ausgearbeitet. Viel viel Besser! Sie können ca. 20.000 Aufgaben im Kopf lösen. Ich liege bei 2.500.000 Lösungen! Auch das Vedische Sustem ist zu Umständig. Sie können mehr unter meiner Adresse erfahren. Gratis. Freundlichst Thomas Richter
Hallo Herr Thomas Richter. Ich hatte gerade begonnen mich für das Thema zu interessieren und mir das Buch „Mathe-Magie“ bestellt. Während ich noch auf die Lieferung des Buches warte, finde ich zufällig Ihren Kommentar und stelle fest, Ihr System könnte mich auch interessieren. Nur: Unter welcher Adresse kann ich was darüber erfahren? Das ist mir nicht ganz klar 🙂
Das bringt bei mir nicht
Der Übertrag des 3. Teilergebnis muss der hinterbleibenden Zahl des 2. Betrags hinzugefügt werden.!
57×68
5 x 6 = 30
40 + 42= 82
7×8 = 56 8 wird zu 30 dazu gezählt und 5 zur hinterblieben 2 = 3876
Ich möchte schlau werden
Hallo, einen wirklich tollen Blogbeitrag habt Ihr hier verfasst 🙂
[von der Redaktion gekürzt. Bitte sehen Sie vom Posten von Werbelinks ab. Vielen Dank!]
LG Andrea
Schnell rechnen ich will lernen
Im ersten Abschnitt ist ein Fehler! Und bei mieinem Kommentar war leiderauch ein Tippfehler.
Und hier eine Schrittanleitung:
1. Schritt: Addiere die 1. Ziffer der ersten mehrstelligen Zahl mit 1 und multipliziere das Ergebnis mit der 1. Ziffer der zweiten mehrstelligen Zahl.
2. Schritt: Multipliziere die beiden hinteren Ziffern.
Beispiel: 41 *25 = 1025 nach Ihrer „Lehre“ wäre jedoch 25*41 = 1205 und das ist falsch!
Was ist mit 75*15 = ? Richtig íst 1125 jedoch nach Ihrer Lehre 825 -Also dringend ändern!!!!!!!!!!
Hallo Herr Schuhmann,
wie in der Anleitung erklärt, sollten die ersten Ziffern gleich sein, um diesen Rechenweg zu nutzen. Das ist in ihren Beispielen nicht der Fall.
Viele Grüße
die Redaktion der sofatutor-Magazine
Bei mir funktioniert es nicht.
28×28
(2+1)×2 = 6
8×8= 64
=664
Das wäre aber falsch.
Hey Hanna,
leider hast du für diesen Rechenweg nicht beachtet, dass die hinteren beiden Ziffern 10 ergeben müssen, um ihn anzuwenden.
Probiere es noch mal mit der vedischen Regel „vertikal und kreuzweise“.
Viele Grüße
die Redaktion der sofatutor-Magazine
Guten tag meine Damen und Herren
Mein Name ist Thomas Richter, Ich habe Mittachserechnen erfunden. und brauche weder das „einmaleins“, das“ vediche system“ weil Sie es Falsch beleuchtet ist, oder anderes! Die Kopfrechen Aufgabe 54.982 x 55.018 = berechnet man mit 2 zwichenresultaten und Fertig! Wie viele zwischenresultate haben sie?
Sie können jetzt lernen oder weiter lügen! Freundlichst Thomas Richter
Hallo Herr Richter, ich interessiere mich für ihre Kopfrechenart. Wo finde ich genauere Informationen?
Hallo,
ich verstehe leider nicht, wie man bei der 3. Regel nach dem 4. Rechenschritt mit den 3 Teilergebnissen auf das Ergebnis 2048 kommt.
Ich würde mich freuen, wenn mir jmd auf die Sprünge helfen könnte!
Liebe Grüße