Gratis Mathe-Poster: Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
Sinus, Kosinus und Tangens beschreiben die Lage von Winkeln im Dreieck. Was es sonst noch im rechtwinkligen Dreieck zu beachten gilt, haben wir auf einem gratis Lernposter zusammengefasst.
Auf diesem Lernposter finden Ihre Schülerinnen und Schüler alles zum Thema Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck, was sie wissen sollten. Sie können es abspeichern, teilen oder ausdrucken.
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Lernposter_Trigonometrie_Mathe.pdf (Dateigröße: 1MB)
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Zusätzlich können sich Ihre Schülerinnen und Schüler mithilfe dieses Lernvideos die Längenbestimmung am rechtwinkligen Dreieck vornehmen:
Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Winkel von 90°. Die Hypotenuse liegt gegenüber des rechten Winkels und ist die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks.
- Die Katheten sind die Seiten, die am rechten Winkel anliegen.
- Die Gegenkathete zum Winkel α ist die Kathete, die α gegenüber liegt.
- Die Ankathete zum Winkel α ist die Kathete, die α anliegt.
Die Winkelfunktionen
Der Sinuswert eines Winkels α in einem rechtwinkligen Dreieck ist der Quotient aus der Länge der Gegenkathete dieses Winkels und der Hypotenuse:
Der Kosinuswert ist definiert als der Quotient aus der Länge der Ankathete des Winkels α, sowie der Hypotenuse:
Der Tangenswert ist definiert als der Quotient aus der Länge der Gegenkathete und der Ankathete des Winkels α:
Eselsbrücken für die Winkelfunktionen
Um sich zu merken, wie man den jeweiligen Wert bestimmt, kann man zwei Eselsbrücken verwenden. Dabei steht das A für die Ankathete, das G für die Gegenkathete und das H für die Hypotenuse zu einem Winkel α:
„Geh Heim – Altes Haus – Gib Acht “ (Sinus-Cosinus-Tangens)
„Gustav Hausers- Alte Hennen –Gackern Abends“ (Sinus-Cosinus-Tangens)
Der trigonometrische Pythagoras
Im Einheitskreis ist die Länge der Hypotenuse gleich dem Radius r=1.
- sin(α) ist die Länge der Gegenkathete von α:
- cos(α) ist die Länge der Ankathete von α:
Für den Tangens ist nun die Länge der Ankathete gleich dem Radius r=1.
- tan(α) ist die Länge der Gegenkathete von α:
Anwendungsbeispiel
Der Eiffelturm ist 324 Meter hoch. Carla betrachtet diesen unter einem Winkel von 65,2°. Wie lang ist die Strecke zwischen dem Eiffelturm und Carla?
Der einzige trigonometrische Satz, der hier in Frage kommt, ist:
Der Winkel α hat den Wert 65,2°. Die Gleichung muss nach der Ankathete b umgestellt werden:
Die Entfernung beträgt also ungefähr 150 Meter.
Titelbild: © Shaiith/shutterstock.com
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Sehr geehrtes Team,
leider hat Ihr Bild mit dem Eifelturm die falschen Proportionen:
a) Die Entfernung zum Eifelturm ist größer als dessen Höhe, obwohl Sie eine deutlich geringere Entfernung als dessen Höhe ausgerechnet haben.
b) Der eingezeichnete Winkel von 62,5 ist deutlich kleiner als 45 Grad – wahrscheinlich sind es 27,5 Grad.
Grüße
Andreas Raab
Sehr geehrter Herr Raab,
Sie haben Recht, bei der Skizze stimmen die Proportionen der einzelnen Längen und Winkel mit den Endergebnissen nicht überein. Die Skizze soll in diesem Fall lediglich der Veranschaulichung des Sachverhaltes dienen, nicht als Abbild der gegebenen Größen. So kommen die Schülerinnen und Schüler nicht in die Verlegenheit, die gesuchte Seitenlänge zu ermitteln, indem sie sie abmessen. Noch sollte die Skizze die Lösung in irgendeiner Form vorwegnehmen. Im Sinne der Anschaulichkeit ist aber zukünftig zu überlegen, die Skizzen näher an den gegebenen Größen zu gestalten. Vielen Dank für Ihren Hinweis!
Viele Grüße
die Redaktion der sofatutor-Magazine und die Mathe-Redaktion